Pitágoras y el milagro griego de las matemáticas

Leonés y residente en Barcelona la mayor parte de su vida, Pedro Miguel González Urbaneja es un excelente catedrático de matemáticas que ha desarrollado como pocos la dimensión cultural de éstas, así como su función en la historia del pensamiento y del arte. Este verano ha publicado El teorema de Pitágoras (Catarata), un libro realmente sugestivo sobre un teorema que ha marcado un hito en la historia de la humanidad. Ninguno otro ha recibido más atención e interés que él ni generado tantas demostraciones distintas. Ocupa además un primer plano en el recuerdo de nuestra etapa escolar. Incluso se denomina Pitagorín a un joven empollón y sabelotodo, a causa de un personaje de tebeo de Peñarroya.

Este teorema era ya conocido en Babilonia, hace unos cuatro mil años, como evidencian unas tablillas conservadas a día de hoy. Por su parte, los egipcios sabían que un triángulo de lados 3, 4 y 5 (o proporcionales a estos números) es rectángulo; es decir, tiene un ángulo de 90º. Se habla así del triángulo egipcio (o de Isis, con un carácter sagrado y fecundo): 3 simbolizaba a Osiris, 4 a su esposa Isis y 5 a su hijo Horus. Permitía trazar una línea perpendicular a otro, a modo de una escuadra de carpintero; lo que era habitual en los agrimensores para recuperar las fronteras de las lindes de tierra, tras los corrimientos causados por las crecidas del río Nilo. También era conocido en China.

El tratamiento posterior de este resultado en Grecia fue novedoso. Nacido en Constantinopla en el siglo V de nuestra era, Proclo comentó con gran presteza los Elementos de Euclides (nacido cuatro siglos antes de Cristo). Afirmaba el filósofo que Pitágoras transformó la doctrina de Tales en enseñanza liberal y examinó los principios de la geometría: “investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas (poliedros)”. De este modo, mediante un discurso mental Pitágoras transformó el saber geométrico en disciplina teórica y abstracta.

Un salto cualitativo que hace que las matemáticas aparezcan en Grecia como ciencia de conjeturas y deducciones, más allá del empleo recibido en las civilizaciones orientales de tipo empírico e inductivo.Puede decirse, por tanto, que el gran legado del teorema de Pitágoras es haber establecido la matemática como una ciencia racional, a partir del ejercicio demostrativo que exhibe los poderes de la razón y la observación. Y constituirse también como ejemplo de sincretismo o amalgama cultural entre Oriente y Occidente.

'El teorema de Pitágoras' CATARATA

Se ha hablado así del milagro griego en las matemáticas: el establecimiento de una fuente de verdad objetiva. Su originalidad fue aportar, con independencia de los valores concretos de los lados del triángulo rectángulo, una verdad general y universal. En consecuencia, desde entonces el método y la actitud del pensamiento significan búsqueda de lo necesario y de lo universal. Si la retórica sofista nos puede persuadir arguyendo lo falso contra lo verdadero, la demostración científica “convence por la ilación argumental incontrovertible”; siempre, claro está, que no se pongan en entredicho las leyes de la lógica.

¿Quién era Pitágoras? Nació en la isla griega de Samos, hace unos 27 siglos, viajó por Creta, Egipto y Oriente y se estableció finalmente al sur de Italia, en Crotona, donde formó una comunidad con cientos de personas que expandieron su modo de vivir y convivir, a partir de las ideas de armonía, amistad y proporción. Dos de sus máximas fueron: “Pronuncia palabras suaves y haz acciones útiles” y “Bebe bien y come con mesura, haciendo gimnasia”. Según Focio, patriarca y erudito bizantino, Pitágoras “fue el primero en llamar al cielo cosmos por su perfección y porque a todos los seres vivos los adornó bellamente”. Su teorema era un teorema de catetos e hipotenusa. En griego, cateto equivale a perpendicular e hipotenusa a tender con firmeza; es el lado opuesto al ángulo recto de un triángulo rectángulo.

Fundada hacia el año 387 antes de Cristo, la Academia platónica planteó cuándo es posible resolver un problema que se investiga y cuándo no. Euclides, nacido sesenta años después de aquella fecha, demostró el teorema de Pitágoras en el primer libro de los célebres Elementos (en la proposición I.47). Esta obra tuvo en 1482 su primera impresión en papel y es el libro científico más traducido y divulgado de la historia de la cultura, la obra más influyente de la literatura matemática.

El teorema más famoso de la geometría tiene innumerables demostraciones, tanto de matemáticos como de no matemáticos; entre ellos: Pappus, nacido en Alejandría en el siglo III; Thâbit Ibn Qurra, astrónomo en Bagdad, en el siglo IX; el célebre astrónomo hindú Bhaskara, en el siglo XII; y el incomparable Leonardo da Vinci, en el siglo XV. Elisha S. Loomis (1852-1940), profesor de matemáticas en la universidad norteamericana de Baldwin, cerca de Cleveland, en el estado de Ohio, hizo una recopilación exhaustiva de las demostraciones del teorema de Pitágoras. En 1927 llevaba recogidas hasta 370 de ellas. Anotó al concluir: “Y el final no ha llegado todavía”.

En Grecia, la aparición de los números irracionales (los que no se pueden expresar como cociente de números enteros) eliminó la creencia que los pitagóricos tenían de que los números podían medirlo todo con exactitud. Ese momento señaló, como indica el profesor González Urbaneja, el momento más dramático vivido hasta entonces por la geometría griega y provocó un cambio de rumbo hacia la ingeniería geométrico-deductiva.

Recordemos que un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales. El término isósceles proviene del latín, derivado del griego, y significa de piernas iguales. Una curiosidad del teorema de Pitágoras es que permite dibujar todas las raíces cuadradas de los números naturales (enteros positivos) en una espiral formada por triángulos rectángulos sucesivos. Se trata de la espiral de Teodoro, una espiral que se inicia con un triángulo rectángulo isósceles, con los catetos iguales a 1 (e hipotenusa, por tanto, igual a raíz cuadrada de 2; que es un número irracional). Luego, el siguiente triángulo rectángulo mantiene un cateto igual a 1 y el otro es la hipotenusa del anterior: raíz cuadrada de 2; el siguiente triángulo rectángulo: un cateto igual a 1 y otro igual a raíz cuadrada de 3 (la hipotenusa del anterior) y así sucesivamente.

Otro teorema con una fama infinitamente menor al de Pitágoras, pero que tiene una gracia sedimentada en su dificultad para los estudiantes, es el teorema del triángulo isósceles, también conocido como teorema del puente de los burros (pons asinorum): los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son también iguales. Más allá de sus posibles aplicaciones, todo esto entretiene, simplemente. Y no es poco.